2011年6月20日月曜日

小学生には難しい?算数の問題

あるところで話題になった算数の問題について、小学生でも解答できそうな方法を考えてみました。もとより、この問題を使って授業をしたことはありませんし、問題以外の参考資料にも目を通しておりませんので、これこそが正しいと主張するつもりはありません。(そもそも私自身は数と計算領域が一番苦手ですので)しかしながら、小学生にはムリだという主張に対しては、こうすれば解けるよということを示しておきたかったので、拙いながらここにまとめておきます。間違いのご指摘は大歓迎ですので、よろしくお願い致します。

【問題】
2,3,5,6,7,8の6枚のカードを□.□×□.□のように組み合わせて(□の中に数のカードを入れるイメージ)かけ算の式を作ります。答えが整数になるようにするためには、どのように組み合わせたらよいでしょうか。
#答えの形としては、□□.□□となる。

【解答】
(1) はじめに、小数第二位(1/100の位)を0にすることを考えます。すると、
□.5×□.2
□.5×□.6
□.5×□.8
という組み合わせが考えられます。ここで、□.5は決定です。

(2) 次に、小数第一位(1/10の位)を0にすることを考えます。
(わかりやすいように記号を変えます)
□.5×○.2のとき、小数第一位には1があることになりますので、かけ算の決まりにしたがって、2×□の下一桁と○×5の下一桁をたして9になれば、1と合わせたときに小数第一位が0になります。
これを筆算の形にすると、
  □.5
 × ○.2

a b+10
c d e
最終的に(b+1)+eの下一桁が0になればよいのですから、b+eで9になればよいということです。
#以下も同じように考えます。

(3) 残りのカードを考えると、2×□の下一桁は
2×3→6、2×6→2、2×7→4、2×8→6
となります。同じように○×5の下一桁は
3×5→5、6×5→0、7×5→5、8×5→0
となります。この組み合わせで、たして9になるのは、2×7の4と3×5の5だけ(7が2枚ないから)です。すると、□が7、○が3となるので、
7.5×3.2
という式の答えが整数になることが分かります。

(4) 同じように□.5×○.6の場合は、小数第一位には3がありますので、6×□の下一桁と○×5の下一桁をたして7になれば、3と合わせたときに小数第一位が0になります。
6×2→2、6×3→8、6×7→2、6×8→8
2×5→0、3×5→5、7×5→5、8×5→0
ということで、6×2の2と3×5の5および7×5の5、6×7の2と3×5の5の組み合わせのときに、たして7になります。すると、
2.5×3.6
2.5×7.6
7.5×3.6
という式の答えが整数になることが分かります。

(5) 同じように□.5×○.8の場合は、小数第一位には4がありますので、8×□の下一桁と○×5の下一桁をたして6になれば、4と合わせたときに小数第一位が0になります。
8×2→6、8×3→4、8×6→8、8×7→6
2×5→0、3×5→5、6×5→0、7×5→5
ということで、8×2の6と6×5の0、8×7の6と2×5の0および6×5の0の組み合わせのとき、たして6になります。すると、
2.5×6.8
7.5×2.8
7.5×6.8
という式の答えが整数になることが分かります。

(6) 結論として、以下の式のときに答えが整数になります。
2.5×3.6
2.5×6.8
2.5×7.6
7.5×2.8
7.5×3.2
7.5×3.6
7.5×6.8

この問題は、(2)の考え方に気づけるかどうかというところが大きな分岐点ではないかと思います。多分こんな解答で良いのだろうと思いますが、他に方法があったら教えてください。

2 件のコメント:

匿名 さんのコメント...

「2桁の整数どうしの掛け算で100の倍数になるようにする」と説明するのはいかがですか。
5×2=10ですから、一方は5×5=25の倍数に、もう一方は2×2=4の倍数にすればよいのです。
与えられた数を用いてできる25の倍数は25または75ですから、残る数を用いて4の倍数を作ります。
一方が25の場合、残る数は3,6,7,8ですから、これを用いてできる4の倍数は36,68,76の3つです。
一方が75の場合、残る数は2,3,6,8ですから、これを用いてできる4の倍数は28,32,36,68の4つです。

lxdeで検索中にこのサイトにたどり着きました。ついでにTOPのほうから最近のものを読んでおりましたところ、自分にも解けそうでしたのでコメントしました。

yossy さんのコメント...

コメントありがとうございます。「2桁の整数どうしの掛け算で100の倍数になるようにする」という考え方は問題ありません。しかし、100を2×2×5×5のように因数分解をして考えるのは、中学生のレベルになります。小学生でも約数の勉強はしていますから、1,2,4,5,10,20,25,50,100が100の約数であることはわかりますので、25×4が100になることくらいはわかりますが、他の組み合わせも同等に検討の対象になりますので、25×4だけをピックアップする根拠を丁寧に説明させる必要があります。

100の約数の中から、与えられたカードを使ってできる2桁の数は、25しかないことから、25の倍数が手がかりになることを説明させて、25とかけ算をして100になるのは4だから、4の倍数を残りのカードで作らせるところまではいけると思います。6年生の子どもたちにもやらせてみましたが、塾で習っている子は、因数分解をしました。それがダメとなると、とたんに説明ができなくなりますので、因数分解的なアプローチは難しいのだと思います。